Biết phương trình \({{4}^{{{\log }_{9}}x}}-{{6.2}^{{{\log }_{9}}x}}+{{2}^{{{\log }_{3}}27}}=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\). Khi đó \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) bằng :

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: x>0.

Ta có phương trình tương đương \({{2}^{2{{\log }_{9}}x}}-{{6.2}^{{{\log }_{9}}x}}+{{2}^{3}}=0.\text{    (1)}\)

Đặt \(t={{2}^{{{\log }_{9}}x}},t>0. \left( 1 \right)\Rightarrow {{t}^{2}}-6t+8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=2 \\ & t=4 \\ \end{align} \right.\)

- Với \(t=2\Leftrightarrow {{2}^{{{\log }_{9}}x}}=2\Leftrightarrow {{\log }_{9}}x=1\Leftrightarrow x=9.\)

- Với \(t=4\Leftrightarrow {{2}^{{{\log }_{9}}x}}={{2}^{2}}\Leftrightarrow {{\log }_{9}}x=2\Leftrightarrow x=81\).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{ 9;81 \right\}\Rightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=6642\).