Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức \({{\log }_{2}}a+{{\log }_{3}}a+{{\log }_{5}}a={{\log }_{2}}a.{{\log }_{3}}a.{{\log }_{5}}a\)

* Hướng dẫn giải

\((*) \Leftrightarrow {\log _2}a + {\log _3}2.{\log _2}a + {\log _5}2.{\log _2}a = {\log _2}a.{\log _3}5.{\log _5}a.{\log _5}a\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}a.\left( {1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2} \right) = {\log _2}a.{\log _3}5.\log _5^2a\\ \Leftrightarrow {\log _2}a.\left( {1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2 - {{\log }_3}5.\log _5^2a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}a = 0\\ 1 + {\log _3}2 + {\log _5}2 - {\log _3}5.\log _5^2a = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ {\log _5}a = \pm \sqrt {\frac{{1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2}}{{{{\log }_3}5}}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ a = {5^{ \pm \sqrt {\frac{{1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_5}2}}{{{{\log }_3}5}}} }} \end{array} \right. \end{array}\)