Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z+1-i \right|=\left| z-3i \right|\). Tính môđun nhỏ nhất của z-i.

* Hướng dẫn giải

Gọi \(z=x+yi;\text{ }\left( x;\text{ }y\in \mathbb{R} \right)\) có điểm \(M\left( x;y \right)\) biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ.

Từ giả thiết \(\left| z+1-i \right|=\left| z-3i \right|\) suy ra \(M\in \Delta :2x+4y-7=0\).

Ta có: \(z-i=x+\left( y-1 \right)i\) có điểm \({M}'\left( x;y-1 \right)\) biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ.

Ta có: \(2x+4y-7=0\Leftrightarrow 2x+4\left( y-1 \right)-3=0\Rightarrow {M}'\in {\Delta }':2x+4y-3=0\).

Vậy \({{\left| z-i \right|}_{\min }}=d\left( O;{\Delta }' \right)=\frac{\left| -3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\frac{3\sqrt{5}}{10},\) khi \(z=\frac{3}{10}+\frac{8}{5}i\).