Cho hình chóp S.ABC có đáy $ABC$ là tg đều cạnh $a,$

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm BC, trong \(\left( SAM \right)\) kẻ \(AH\bot SM\left( H\in SM \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{align} & BC\bot AM \\ & BC\bot SA \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow BC\bot AH\)

\(\left\{ \begin{align} & AH\bot BC\left( cmt \right) \\ & AH\bot SM \\ \end{align} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\)

\(\Rightarrow SH$ là hình chiếu vuông góc của SA lên \(\left( SBC \right)\)

\(\Rightarrow \angle \left( SA;\left( SBC \right) \right)=\angle \left( SA;SH \right)\Leftrightarrow ASH=\angle ASM={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta SAM\) vuông cân tại A.

Vì ABC là tam giác đều cạnh a nên \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SA=AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) và \({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\)

Vậy \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}}{8}.\)