Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn \(\left( {{2}^{x+1}}-\sqrt{2} \right)\left( {{2}^{x}}-y \right)...

* Hướng dẫn giải

\(\left( {{2}^{x+1}}-\sqrt{2} \right)\left( {{2}^{x}}-y \right)<0\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\left( {{2}^{x}}-y \right)<0\)

Vậy y>0 nên bất phương trình có không quá 10 nghiệm nguyên khi và chỉ khi

\(\frac{1}{\sqrt{2}}<{{2}^{x}}<y\Leftrightarrow -\frac{1}{2}<x<{{\log }_{2}}y.\)

Nếu \({{\log }_{2}}y>10\Rightarrow x\in \left\{ 0;1;2;...;10 \right\}\) đều là nghiệm, do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\(\Rightarrow {{\log }_{2}}y\le 10\Leftrightarrow y\le 1024.\)

Mà y là số nguyên dương nên \(y\in \left\{ 1;2;3;...;1023;1024 \right\}.\)

Vậy có 1024 gía trị nguyên dương của y thỏa mãn yêu cầu bài toán.