Cho hàm số \(f\left( x \right),\) đồ thị của hàm số \(y=f'\left( x \right)\) là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2x \right)-4x\) t...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(g'\left( x \right)=2f'\left( 2x \right)-4\)

Cho \(g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2f'\left( 2x \right)-4=0\Leftrightarrow f'\left( 2x \right)=2\Leftrightarrow f'\left( 2x \right)=1.\)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) đề bài cho ta thấy trên \(\left[ -\frac{3}{2};2 \right]\) đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) tại x-0,x=2, trong đó x=0 là nghiệm kép.

Do đó \(f'\left( 2x \right)=1\Leftrightarrow 2x=2\Leftrightarrow x=1\) (không xét nghiệm kép 2x=0 vì qua các nghiệm của phương trình này thì \(g'\left( x \right)\) không đổi dấu.

Lấy x=0 ta có \(g'\left( -1 \right)=2f'\left( -1 \right)-4>0\) do \(f'\left( -1 \right)>2\)

Do đó ta có bảng xét dấu \(g'\left( x \right)\) trên \(\left[ -\frac{3}{2};1 \right]\) như sau:

Với \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - \frac{3}{2};1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) - 4.\)