Cho hàm số \(y=f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}\) và hàm số \(y=g\left( x \right)={{x}^{2}}-{{m}^{2}}\), với \(0...

* Hướng dẫn giải

Để ý, hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có đồ thị đối xứng qua trục tung. Do đó diện tích \(\left\{ \begin{align} & {{S}_{1}}={{S}_{4}} \\ & {{S}_{2}}={{S}_{3}} \\ \end{align} \right.\).

Vì vậy, yêu cầu bài toán trở thành tìm \({{m}_{0}}\) để \({{S}_{1}}={{S}_{3}}\) (1).

Gọi a là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\), với điều kiện: \(0<a<m<\sqrt{2}\).

Dựa vào đồ thị, ta có:

\({{S}_{3}}=\int\limits_{0}^{a}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+{{m}^{2}} \right)}\text{d}x=\frac{{{a}^{5}}}{5}-{{a}^{3}}+a{{m}^{2}}\) (2).

\({{S}_{1}}=\int\limits_{a}^{m}{\left( -{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right)}\text{d}x+\int\limits_{m}^{\sqrt{2}}{\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}} \right)}\text{d}x =\frac{{{a}^{5}}}{5}-{{a}^{3}}+a{{m}^{2}}-\frac{2{{m}^{3}}}{3}+\frac{8\sqrt{2}}{15}\) (3).

Từ (1), (2), (3) ta có:

\({{S}_{3}}={{S}_{1}}\Leftrightarrow \frac{8\sqrt{2}}{15}-\frac{2}{3}{{m}^{3}}=0\Leftrightarrow m=\sqrt[3]{\frac{4\sqrt{2}}{5}}\approx 1.04\in \left( \frac{2}{3}\,;\,\frac{7}{6} \right)\).