Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1;2 \right]\) và thỏa mãn \(f(1)=-\frac{1}{2}\) và \(f(x)+x{f}'(x)=\left( 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right){{f}^{2}}(x),\forall x...

* Hướng dẫn giải

Từ giả thiết, ta có \(f(x)+x{f}'(x)=\left( 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right){{f}^{2}}(x)\Rightarrow \frac{f(x)+x{f}'(x)}{{{[xf(x)]}^{2}}}=2x+1\)

\(\Rightarrow {{\left[ \frac{1}{xf(x)} \right]}^{\prime }}=-2x-1\Rightarrow \frac{1}{xf(x)}=\int{(-2x-1)}dx\Rightarrow \frac{1}{xf(x)}=-{{x}^{2}}-x+C\).

\(f(1)=-\frac{1}{2}\Rightarrow C=0\Rightarrow xf(x)=-\frac{1}{x(x+1)}\)

\(\Rightarrow \int_{1}^{2}{x}f(x)dx=\int_{1}^{2}{\frac{-1}{x(x+1)}}dx=\int_{1}^{2}{\left( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x} \right)}dx=\left. \ln \frac{x+1}{x} \right|_{1}^{2}=\ln \frac{3}{4}\).