Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}-4mx\) đồng biến trên đoạn \(\left[ 1;4 \right]\).

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(y'={{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-4m\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left[ 1;4 \right]\) thì \(y'\ge 0\text{ }\forall x\in \left[ 1;4 \right]\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-4m\ge 0\text{ }\forall x\in \left[ 1;4 \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x\ge 2m\left( x+2 \right)\Leftrightarrow 2m\le \frac{{{x}^{2}}+2x}{x+2}\text{ }\forall x\in \left[ 1;4 \right]\)

Đặt \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x}{x+2}\Rightarrow 2m\le f\left( x \right)\text{ }\forall x\in \left[ 1;4 \right]\Leftrightarrow 2m\le \underset{\left[ 1;4 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x}{x+2}\) trên \(\left[ 1;4 \right]\) ta có:

\(f'\left( x \right)=\frac{\left( 2x+2 \right)\left( x+2 \right)-{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+4x+4}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=1>0\text{ }\forall x\in \left[ 1;4 \right]\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ 1;4 \right] \Rightarrow \underset{\left[ 1;4 \right]}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=1\).

Vậy \(2m\le 1\Leftrightarrow m\le \frac{1}{2}\)