Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( 0;-2;-1 \right),B\left( -2;-4;3 \right), C\left( 1;3;-1 \right)\). Tìm điểm \(M\in \left( Oxy \right)\) sao cho \(\left|...

* Hướng dẫn giải

Gọi I(a;b;c) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {IA} = \left( { - a; - 2 - b; - 1 - c} \right)\\ \overrightarrow {IB} = \left( { - 2 - a; - 4 - b;3 - c} \right)\\ \overrightarrow {IC} = \left( {1 - a;3 - b; - 1 - c} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \left( { - 5a + 1; - 5b + 3; - 5c + 1} \right)\).

\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{5}\\ b = \frac{3}{5}\\ c = \frac{1}{5} \end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{1}{5};\frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\).

Khi đó ta có \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {MI}  + 3\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {5\overrightarrow {MI} } \right| = 5MI\)

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M{I_{\min }} \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của I trên (Oxy) \( \Rightarrow M\left( {\frac{1}{5};\frac{3}{5};0} \right)\)