Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right)$ liên tục trên \(\left[ 0;2 \right]\) và \(f\left( 2 \right)=16;\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=4\). Tính \(I=\i...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 0\\ x = 1 \Rightarrow t = 2 \end{array} \right. \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {\frac{t}{2}.f'\left( t \right)\frac{{dt}}{2}} = \frac{1}{4}\int\limits_0^2 {tf'\left( t \right)dt} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = t\\ dv = f'\left( t \right)dt \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dt\\ v = f\left( t \right) \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left[ {\left. {tf\left( t \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} } \right] = \frac{1}{4}\left[ {2f\left( 2 \right) - 4} \right] = \frac{1}{4}\left( {2.16 - 4} \right) = 7\)