Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh bên \(SA=a\sqrt{5}\). Khoảng cách giữa BD và SC là:

* Hướng dẫn giải

Vì chóp S.ABCD đều \(\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)\).

Trong \(\left( SOC \right)\) kẻ \(OH\bot SC\left( H\in SC \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & BD\bot AC \\ & BD\bot SO \\ \end{align} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SOC \right)\Rightarrow OH\bot BD\)

\(\Rightarrow \) OH là đoạn vuông góc chung của BD và \(SC\Rightarrow d\left( BD;SC \right)=OH\)

ABCD là hình vuông cạnh \(2a\Rightarrow OC=\frac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOC:OH=\frac{SO.OC}{SC}=\frac{a\sqrt{3}.a\sqrt{2}}{a\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{30}}{5}\).

Vậy \(d\left( BD;SC \right)=\frac{a\sqrt{30}}{5}\)