Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho BC=3BM, \(BD=\frac{3}{2}BN\), AC=2AP. Mặt phẳng \(\left( MNP \right)\) chia khối tứ diện ABCD thành...

* Hướng dẫn giải

Trong \(\left( BCD \right)\) gọi \(E=MN\cap CD\).

Trong \(\left( ACD \right)\) gọi \(Q=AD\cap PE\).

Khi đó thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( MNP \right)\) là tứ giác MNQP.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác BCD ta có:

\(\frac{MB}{MC}.\frac{EC}{ED}.\frac{ND}{NB}=1\Rightarrow \frac{1}{2}.\frac{EC}{ED}.\frac{1}{2}=1\Leftrightarrow \frac{EC}{ED}=4\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD ta có:

\(\frac{PA}{PC}.\frac{EC}{ED}.\frac{QD}{QA}=1\Rightarrow 1.4.\frac{QD}{QA}=1\Rightarrow \frac{QD}{QA}=\frac{1}{4}\)

Ta có: \({{V}_{ABMNQ}}={{V}_{ABMN}}+{{V}_{AMNP}}+{{V}_{ANPQ}}\)

+) \(\frac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{BCD}}}=\frac{BM}{BC}.\frac{BN}{BD}=\frac{1}{3}.\frac{2}{3}=\frac{2}{9}\Rightarrow \frac{{{V}_{ABMN}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{2}{9}\)

+) \(\frac{{{V}_{AMNP}}}{{{V}_{AMNC}}}=\frac{AP}{AC}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{AMNP}}=\frac{1}{2}{{V}_{AMNC}}\)

\(\frac{{{S}_{NMC}}}{{{S}_{DBC}}}=\frac{d\left( N;BC \right).MC}{d\left( D;BC \right).BC}=\frac{NB}{DB}.\frac{MC}{BC}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{AMNC}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{AMNP}}=\frac{2}{9}{{V}_{ABCD}}\)

+) \(\frac{{{V}_{APQN}}}{{{V}_{ACDN}}}=\frac{AP}{AC}.\frac{AQ}{AD}=\frac{1}{2}.\frac{4}{5}=\frac{2}{5}\Rightarrow {{V}_{APQN}}=\frac{2}{5}{{V}_{ACDN}}\)

\(\frac{{{S}_{CND}}}{{{S}_{CBD}}}=\frac{DN}{DB}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{{{V}_{ACDN}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{APQN}}=\frac{2}{15}{{V}_{ABCD}}\)

\(\Rightarrow {{V}_{ABMNQ}}={{V}_{ABMN}}+{{V}_{AMNP}}+{{V}_{ANPQ}}=\frac{2}{9}{{V}_{ABCD}}+\frac{2}{9}{{V}_{ABCD}}+\frac{2}{15}{{V}_{ABCD}}=\frac{26}{45}{{V}_{ABCD}}\).

Gọi \({{V}_{1}}={{V}_{ABMNQ}},{{V}_{2}}\) là thể tích phần còn lại \(\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{26}{19}\).