Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm \(A(0;0;3),\,M(1;2;0)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua A và cắt \(Ox,\ Oy\) lần lượt tại B, C sao cho tam...

* Hướng dẫn giải

Tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM khi và chỉ khi trung điểm I của BC nằm trên đường thẳng AM.

\(\overrightarrow {AM} \left( {1;2; - 3} \right) \Rightarrow \) PTTS của AM là \(\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 2t\\ z = 3 - 3t \end{array} \right.\)

Giả sử \(B\left( {b;0;0} \right),C\left( {0;c;0} \right) \Rightarrow I\left( {\frac{b}{2};\frac{c}{2};1} \right)\). I thuộc đường thẳng AM nên ta có hệ PT

\(\left\{ \begin{array}{l} t = \frac{b}{2}\\ 2t = \frac{c}{2}\\ 3 - 3t = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = \frac{2}{3}\\ b = 2\\ c = 4 \end{array} \right.\)

Vậy PT mặt phẳng (P) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 4z - 12 = 0\)