Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60o. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là:

* Hướng dẫn giải

Gọi \(O=AC\cap BD\), suy ra \(SO\bot \left( ABCD \right)\).

Ta có \(\left( \widehat{SB,\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SB,OB} \right)=\widehat{SBO}\Rightarrow \widehat{SBO}={{60}^{o}}\).

Trong \(\Delta SOB\), ta có \(SO=OB.\tan \widehat{SBO}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\).

Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.

Trong mặt phẳng \(\left( SOB \right)\), kẻ đường trung trực d của đoạn SB.

Gọi \(I=SO\cap d\Rightarrow \left\{ \begin{align} & I\in SO \\ & I\in d \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & IA=IB=IC=ID \\ & IS=IB \\ \end{align} \right.\Rightarrow IA=IB=IC=ID=IS=R.\)

Xét \(\Delta SBD\) có \(\left\{ \begin{align} & SB=SD \\ & \widehat{SBD}=\widehat{SBO}={{60}^{o}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta\) SBD đều.

Do đó d cũng là đường trung tuyến của \(\Delta SBD\). Suy ra I là trọng tâm \(\Delta SBD\).

Bán kính mặt cầu \(R=SI=\frac{2}{3}SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}\). Suy ra \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{8\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{27}\).