Cho tứ diện SABC và hai điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SB sao cho \(\frac{SM}{AM}=\frac{1}{2}, \frac{SN}{BN}=2\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm M, N và song...

* Hướng dẫn giải

Chia khối đa diện SCMNKL bởi mặt phẳng \(\left( NLC \right)\) được hai khối chóp N.SMLC và N.LKC. Vì SC song song với \(\left( MNKL \right)\) nên \(SC\text{ // }ML\text{ // }NK\)

Ta có:

\(\frac{{{V}_{N.SMLC}}}{{{V}_{B.SAC}}}=\frac{\frac{1}{3}\text{d}\left( N;\left( SAC \right) \right).{{S}_{SMLC}}}{\frac{1}{3}\text{d}\left( B;\,\left( SAC \right) \right).{{S}_{\Delta SAC}}}=\frac{NS}{BS}.\left( 1-\frac{{{S}_{\Delta AML}}}{{{S}_{\Delta SAC}}} \right)=\frac{2}{3}\left( 1-\frac{AM}{AS}.\frac{AL}{AC} \right)=\frac{2}{3}\left( 1-\frac{2}{3}.\frac{2}{3} \right)=\frac{10}{27}\).

\(\frac{{{V}_{N.KLC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{\frac{1}{3}\text{d}\left( N;\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta KLC}}}{\frac{1}{3}\text{d}\left( S;\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta ABC}}} =\frac{NB}{SB}.\frac{LC}{AC}.\frac{CK}{CB} =\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{2}{3} =\frac{2}{27}\).

Suy ra \(\frac{{{V}_{SCMNKL}}}{{{V}_{SABC}}}= \frac{{{V}_{N.SMLC}}}{{{V}_{B.SAC}}}+\frac{{{V}_{N.KLC}}}{{{V}_{S.ABC}}} =\frac{10}{27}+\frac{2}{27} =\frac{4}{9}\).