Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA=2a, tam giác ABC vuông tại C,AB=2a, \(\widehat{CAB}=30{}^\circ \). Gọi H là hình chiếu của A trên SC, B' là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng \...

* Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC ta có \(\text{cos}\widehat{CAB}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}\) và \(BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\).

Xét tam giác SAC ta có \(SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{7}\)

Xét tam giác SAC ta có \(\text{sin}\widehat{SCA}=\frac{SA}{SC}\,\,\left( 1 \right)\)      

Xét tam giác HIC ta có \(\sin \widehat{HCI}=\frac{HI}{HC}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(HI=\frac{SA.HC}{SC}=\frac{6a}{7}\).

Ta có \({{V}_{H.A{B}'B}}=\frac{1}{3}HI.{{S}_{A{B}'B}}=\frac{1}{3}.\frac{6a}{7}.\frac{1}{2}AC.B{B}'=\frac{1}{3}.\frac{6a}{7}.\frac{1}{2}.a\sqrt{3}.2a=\frac{2\sqrt{3}}{7}{{a}^{3}}\).