Cho bất phương trình \({9^x} + \left( {m + 1} \right){3^x} + m > 0\left( 1 \right)\). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (1) có nghiệm đúng \(\forall x > 1\)?

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t={{3}^{x}}\),vì x>1 nên t>3, bpt đã cho trở thành \({{t}^{2}}+\left( m+1 \right)t+m>0\) nghiệm đúng \(\forall t>3\)

                                                                              \(\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-t}{t+1}>-m\) nghiệm đúng \(\forall t>3\)

Xét hàm số \(g\left( t \right)=t-2+\frac{2}{t+1},\forall t>3\), ta có \({g}'\left( t \right)=1-\frac{2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}>0,\forall t>3\), hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 3;+\infty  \right)\) và \(g\left( 3 \right)=\frac{3}{2}\)

YCBT \(\Leftrightarrow -m<\frac{3}{2}\Leftrightarrow m>-\frac{3}{2}\)