Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( 1;1;1 \right),B\left( -1;2;0 \right),C\left( 3;-1;2 \right)\). Điểm \(M\left( a;b;c \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{2}...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(D\left( x;y;z \right)\) sao cho \(2\overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DB}-4\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\). Ta tìm được \(D\left( -13;12;-6 \right)\).

Khi đó,

\(\begin{align} & P=2{{\left( \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB} \right)}^{2}}-4{{\left( \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC} \right)}^{2}} \\ & \,\,\,\,\,=M{{D}^{2}}+2D{{A}^{2}}+3D{{B}^{2}}-4D{{C}^{2}}. \\ \end{align}\)

Do đó, P nhỏ nhất khi và chỉ khi MD nhỏ nhất. Tức M là hình chiếu vuông góc của D trên \(\Delta \).  

Ta có \(M\in \Delta \) nên \(M\left( 1+2t;t;-1-t \right)\) \(\overrightarrow{DM}=\left( 14+2t;t-12;5-t \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 2;1;-1 \right)\).

Vì \(\overrightarrow{DM}\bot \overrightarrow{u}\) nên \(28+4t+t-12-\left( 5-t \right)=0\Leftrightarrow 6t+11=0\Leftrightarrow t=-\frac{11}{6}\).

Suy ra \(M\left( -\frac{8}{3};-\frac{11}{6};\frac{5}{6} \right)\).Vậy \(a+b+c=-\frac{11}{3}\).