Tìm m để phương trình \({4^x} - 2\left( {m - 1} \right){.2^x} + 3m - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \({x_1} + {x_2} > 2\).

* Hướng dẫn giải

Đặt t = 2^x, điều kiện t > 0. Bài toán trở thành tìm m để phương trình \({t^2} - 2\left( {m - 1} \right)t + 3m - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({t_1},\,\,{t_2}\) dương thỏa mãn \({t_1}{t_2} > 4\). Điều kiện tương đương là

\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {3m - 4} \right) > 0\\ {t_1} + {t_2} = m - 1 > 0\\ {t_1}{t_2} = 3m - 4 > 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 5m + 5 > 0\\ m > 1\\ m > \frac{8}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m < \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}\\ m > \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right.\\ m > \frac{8}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}\).

Vậy giá trị m cần tìm là \(m \in \left( {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\).