Cho các số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _3}\left( {\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}}} \right) = 3xy + x + 3y - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của x + y

* Hướng dẫn giải

Điều kiện \(x>0,0<y<1\) \({{\log }_{3}}\left( \frac{1-y}{x+3xy} \right)=3xy+x+3y-4\Leftrightarrow 1+{{\log }_{3}}\left( 1-y \right)+3-3y={{\log }_{3}}\left( x+3xy \right)+x+3xy\) hay

\({{\log }_{3}}\left( 3-3y \right)+3-3y={{\log }_{3}}\left( x+3xy \right)+x+3xy\Leftrightarrow 3-3y=x+3xy\). 

Do 0<y<1 nên \(y=\frac{3-x}{3x+3}\) và 0<x<3

Khi đó, \(x+y=x+\frac{3-x}{3x+3}=g\left( x \right)\ge g\left( \frac{2}{\sqrt{3}}-1 \right)=\frac{-4+4\sqrt{3}}{3}\)