Cho hàm số f(x) liên tục trên R bảng biến thiên của hàm số f'(x) như sau: Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)\) là

* Hướng dẫn giải

Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.f'\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right).\) 

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = a,a < - 1\\ \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = b, - 1 < b < 0\\ \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = c,0 < c < 2\\ \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = d,d > 2 \end{array} \right.\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.\)

Tập xác định D = R \ {1}

Ta có \(h'\left( x \right) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D.\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: Phương trình \(h\left( x \right) = a,h\left( x \right) = b,h\left( x \right) = c,h\left( x \right) = d\) đều có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = f\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)\) có 8 cực trị.