Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 1 - 3i} \right| = 3\sqrt 2 \) và \({\left( {z + 2i} \right)^2}\) là số thuần ảo?

* Hướng dẫn giải

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right).\) Khi đó \(\left| {z + 1 - 3i} \right| = 3\sqrt 2  \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 18{\rm{ }}\left( 1 \right).\)

\({\left( {z + 2i} \right)^2} = {\left[ {x + \left( {y + 2} \right)i} \right]^2} = {x^2} - {\left( {y + 2} \right)^2} + 2x\left( {y + 2} \right)i.\)

Theo giả thiết ta có \({\left( {z + 2i} \right)^2}\) là số thuần ảo nên \({x^2} - {\left( {y + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y + 2\\ x = - \left( {y + 2} \right) \end{array} \right..\)

Với x = y + 2 thay vào (1) ta được phương trình \(2{y^2} = 0 \Leftrightarrow y = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow {z_1} = 2.\)

Với \(x =  - \left( {y + 2} \right)\) thay vào (1) ta được phương trình \(2{y^2} - 4y - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 1 + \sqrt 5 \\ y = 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {z_2} = - 3 - \sqrt 5 + \left( {1 + \sqrt 5 } \right)i\\ {x_3} = - 3 + \sqrt 5 + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)i \end{array} \right..\)

Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.