Cho hàm số f liên tục trên R và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 6.\) Tính \(\int\limits_0^1 {\left[ {xf\left( {{x^2}} \right) - {x^2}f\left( {{x^3}} \right)} \right]dx}...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(I=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( {{x}^{2}} \right)dx}-\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f\left( {{x}^{3}} \right)dx}=A-B.\)

* Tính \(A=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( {{x}^{2}} \right)dx}.\)

Đặt \(t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx.\) Đổi cận \(x=0\Rightarrow t=0$ và $x=1\Rightarrow t=1.\)

Khi đó \(A=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=3.\)

* Tính \(A=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f\left( {{x}^{3}} \right)dx}.\)

Đặt \(t={{x}^{3}}\Rightarrow dt=3{{x}^{2}}dx.$ Đổi cận \(x=0\Rightarrow t=0$ và \(x=1\Rightarrow t=1.\)

Khi đó \(A=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2.\)

Vậy I=A-B=3-2=1.