Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt cầu đi qua \(A\left( {2;3; - 3} \right),B\left( {2; - 2;2} \right),C\left( {3;3;4} \right)\) và có tâm nằm trên mặt phẳng...

* Hướng dẫn giải

Giả sử \(I\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\) và r là tâm và bán kính của mặt cầu (S) và đi qua \(A\left( {2;3; - 3} \right),B\left( {2; - 2;2} \right),C\left( {3;3;4} \right).\)

Phương trình mặt cầu (S) là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {z^2} = {r^2}.\)

Vì mặt cầu đi qua \(A\left( {2;3; - 3} \right),B\left( {2; - 2;2} \right),C\left( {3;3;4} \right)\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = {r^2}\\ {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( { - 2 - b} \right)^2} + {2^2} = {r^2}\\ {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} + {4^2} = {r^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10b + 10 = 0\\ 2a - 12 = 0\\ {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} + {4^2} = {r^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 1\\ a = 6\\ {r^2} = 29 \end{array} \right.\)

Vậy phương trình mặt cầu (S) là \({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 29.\)