Cho \({\log _9}x = {log _{12}}y = {\log _{16}}\left( {x + y} \right)\). Giá trị của tỷ số \(\frac{x}{y}\) là.

* Hướng dẫn giải

\({{\log }_{9}}x={{\log }_{12}}y={{\log }_{16}}\left( x+y \right)\).

Đặt \(t={{\log }_{9}}x\Leftrightarrow x={{9}^{t}}\). Ta được :

\(t={{\log }_{12}}y={{\log }_{16}}\left( x+y \right)\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = {12^t}\\ x + y = {16^t} \end{array} \right.\) hay \({9^t} + {12^t} = {16^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} - 1 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\left( {loai} \right) \end{array} \right.\)

Khi đó \(\frac{x}{y} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)