Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right):z - 1 = 0\) và \(\left( Q \right):x + y + z - 3 = 0\). Gọi d là...

* Hướng dẫn giải

Đặt \({{\vec{n}}_{P}}=\left( 0;0;1 \right)\) và \({{\vec{n}}_{Q}}=\left( 1;1;1 \right)\) lần lượt là véctơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Do \(\Delta =\left( P \right)\cap \left( Q \right)\) nên \(\Delta \) có một véctơ chỉ phương \({{\vec{u}}_{\Delta }}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},{{{\vec{n}}}_{Q}} \right]=\left( -1;1;0 \right)\).

Đường thẳng d nằm trong \(\left( P \right)\) và \(d\bot \Delta \) nên d có một véctơ chỉ phương là \({{\vec{u}}_{d}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},{{{{u}'}}_{\Delta }} \right] =\left( -1;-1;0 \right)\).

Gọi \({d}':\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-1}\) và \(A={d}'\cap d\Rightarrow A={d}'\cap \left( P \right)\)

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} z - 1 = 0\\ \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z = 1\\ y = 0\\ x = 3 \end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;0;1} \right)\).

Do đó phương trình đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + t\\ y = t\\ z = 1 \end{array} \right.\).