Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 4b = 4\). Tính P = a + 2b + 3c khi biểu thức \(\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\) đạt giá trị lớn nhất.

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 4b = 4 \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 9\).

Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối và bất đẳng thức BCS, ta có kết quả sau:

\(\begin{array}{l} \left| {2a + b - 2c + 7} \right| = \left| {2\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 2} \right) - 2c + 11} \right| \le \left| {2\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 2} \right) - 2c} \right| + 11\\ \mathop \le \limits^{BCS} \sqrt {\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2} + {c^2}} \right]\left[ {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \right]} + 11 = 20. \end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} 2\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 2} \right) - 2c > 0\\ \frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b - 2}}{1} = \frac{c}{{ - 2}}\\ {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 3\\ c = - 2 \end{array} \right.\)

Khi đó: \(P = a + 2b + 3c = 3 + 2.3 + 3.\left( { - 2} \right) = 3.\)