Cho hàm số \(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình dưới đây Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 5;5} \right)\) để phương trình \...

* Hướng dẫn giải

Ta có phương trình \({f^2}\left( x \right) - \left( {m + 4} \right)\left| {f\left( x \right)} \right| + 2m + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\left| {f\left( x \right)} \right| - 2} \right)\left( {\left| {f\left( x \right) - m - 2} \right|} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| {f\left( x \right)} \right| = 2{\rm{ (1)}}\\ \left| {f\left( x \right)} \right| = m + 2{\rm{ (2)}} \end{array} \right.\).

Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta có đồ thị hàm số y = |f(x)| như sau:

Từ đồ thị trên, ta có phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt và khác các nghiệm của (1).

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l} m + 2 > 4\\ m + 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 2\\ m = - 2 \end{array} \right.\).

Vì m nguyên và \(m \in \left( { - 5;5} \right) \Rightarrow m \in \left\{ { - 2;3;4} \right\}\)