Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 4} \right) - mx + 3\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

* Hướng dẫn giải

Hàm số \(y = \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 4} \right) - mx + 3\) có tập xác định \(D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

Ta có \(y' = \frac{x}{{{x^2} + 4}} - m\).

Khi đó hàm số \(y = \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 4} \right) - mx + 3\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{{{x^2} + 4}} - m \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \frac{x}{{{x^2} + 4}} \le m,\forall x \in R \Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{x \in R} \,f(x)\) với \(f(x) = \frac{x}{{{x^2} + 4}}\)

Xét hàm số \(f(x) = \frac{x}{{{x^2} + 4}}\) ta có: \({f^'}(x) = \frac{{4 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} \Rightarrow {f^'}(x) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 2\).

BBT

Từ BBT ta suy ra: \(\mathop {max}\limits_{x \in R} \,f(x) = f(2) = \frac{1}{4}\). Suy ra các giá trị của tham số m cần tìm là: \(m \ge \frac{1}{4}\)