Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn \(f'\left( x \right) - xf\left( x \right) = 0,f\left( x \right) > 0,\forall x \in R\) và f(0) = 1. Giá trị của f(1) bằng?

* Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có: \(\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = x \Rightarrow \int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx = \int {xdx} } \)

\( \Rightarrow \ln \left[ {f\left( x \right)} \right] = \frac{1}{2}{x^2} + C.\) (do \(f\left( x \right) > 0\forall x \in R\))

Do đó \(\ln \left[ {f\left( 0 \right)} \right] = \frac{1}{2}{.0^2} + C \Rightarrow C = 0 \Rightarrow \ln f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\frac{1}{2}{x^2}}} \Rightarrow f\left( 1 \right) = \sqrt e .\)