Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật \(AB=a,AD=a\sqrt{2},SA\bot \left( ABCD \right)\) và SA=a (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left(...

* Hướng dẫn giải

Trong (ABCD) kẻ \(AH \bot BD\)

Trong (SAH) kẻ \(AK \bot SH\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BD \bot SA\\ BD \bot AH \end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BD \bot AK\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AK \bot SH\\ AK \bot BD \end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AK.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABD\) vuông tại A và có đường cao AH ta có:

\(AH = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABD\) vuông tại A và có đường cao AK ta có:

\(AK = \frac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} }} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{3}}}{{\frac{{\sqrt {15} }}{3}}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\)