Tìm tập tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} + \left( {3m - 1} \right){x^2} + {m^2}x - 3\) đạt cực tiểu tại x = -1.

* Hướng dẫn giải

\(y' = 3{x^2} + 2\left( {3m - 1} \right)x + {m^2};\,\,y'' = 6x + 2\left( {3m - 1} \right)\)

Xét phương trình \(y'\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( {3m - 1} \right) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = 5 \end{array} \right.\)

Với \(m = 1 \Rightarrow y'' = 6x + 4 \Rightarrow y''\left( { - 1} \right) =  - 2 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại x = -1

Với \(m = 5 \Rightarrow y'' = 6x + 28 \Rightarrow y''\left( { - 1} \right) = 22 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Vậy m = 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.