Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: a) (x − 1)^2 = 2.|x − k|

* Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2(x − k) = ${(x-1)}^2$ hoặc 2(x − k) = -${(x-1)}^2$

Ta vẽ đồ thị của hai hàm số: y = −$x^2$ + 4x – 1 và y = $x^2$ + 1

Từ đồ thị ta suy ra:

    • 2k > 3 : phương trình có hai nghiệm;

    • 2k = 3 : phương trình có ba nghiệm;

    • 2 < 2k < 3 : phương trình có bốn nghiệm;

    • 2k = 2 : phương trình có ba nghiệm;

    • 1 < 2k < 2 : phương trình có bốn nghiệm ;

    • 2k = 1 : phương trình có ba nghiệm ;

    • 2k < 1 : phương trình có hai nghiệm.

(1) : phương trình có bốn nghiệm;

(2): phương trình có ba nghiệm ;

(3): phương trình có hai nghiệm.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = (x + 1)2.(2 − x).

y = −$x^3$ + 3x + 2 ⇒ y′ = −3$x^2$ + 3

y′=0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Từ đồ thị hàm số ta suy ra:

    • k > 4 hoặc k < 0: phương trình có một nghiệm;

    • k = 4 hoặc k = 0 : phương trình có hai nghiệm;

    • 0 < k < 4: phương trình có ba nghiệm.