Cho hai số thực a, b thỏa mãn \({a^2} + {b^2} > 1\) và \({\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {a + b} \right) \ge 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2a + 4b - 3 là

* Hướng dẫn giải

Do \({a^2} + {b^2} > 1\) nên từ \({\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {a + b} \right) \ge 1{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}a + b \ge {a^2} + {b^2} > 1\).

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} > 1\\ {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b - \frac{1}{2}} \right)^2} \le {\rm{ }}\frac{1}{2} \end{array} \right.\)

Khi đó: \(P = 2a + 4b - 3 = 2\left( {a - \frac{1}{2}} \right) + 4\left( {b - \frac{1}{2}} \right) \le \sqrt {\left( {{2^2} + {4^2}} \right).\left[ {{{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {b - \frac{1}{2}} \right)}^2}} \right]{\rm{ }}} \le \sqrt {20.\left( {\frac{1}{2}} \right)} = \sqrt {10} \)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{a - \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{b - \frac{1}{2}}}{4} > 0\\ {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b - \frac{1}{2}} \right)^2} = {\rm{ }}\frac{1}{2}\\ \\ {a^2} + {b^2} > 1 \end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {10} }}\\ b = \frac{1}{2} + \frac{2}{{\sqrt {10} }} \end{array} \right.\)

Vậy \({P_{{\rm{max}}}} = \sqrt {10} \) khi \(\left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {10} }}\\ b = \frac{1}{2} + \frac{2}{{\sqrt {10} }} \end{array} \right.\).