Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm cạnh AD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CM.

* Hướng dẫn giải

Gọi N là trung điểm của BD, ta có \(AB||MN \Rightarrow AB||\left( {CMN} \right)\).

Mà \(CM \subset \left( {CMN} \right),\) suy ra \(d\left( {AB,CM} \right) = d\left( {AB,\left( {CMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {CMN} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {CMN} \right)} \right)\).

Ta có \(CM = CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},MN = \frac{a}{2}.\)

Gọi H là trung điểm của MN, ta có \(CH \bot MN\), và \(CH = \sqrt {C{M^2} - M{H^2}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{4}.\)

Suy ra \({S_{CMN}} = \frac{1}{2}CH.MN = \frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{{16}}.\)

Mặt khác \({V_{CDMN}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD}} = \frac{1}{4}\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}.\)

Do đó \(d\left( {D,\left( {CMN} \right)} \right) = \frac{{3{V_{CDMN}}}}{{{S_{\Delta CMN}}}} = \frac{{a\sqrt {22} }}{{11}}.\)