Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [1; 2] thỏa mãn \(\log _2^3a + \log _2^3b + \log _2^3c \le 1.\) Khi biểu thức \(P = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3\left( {{{\log }_2}{a^a} + {{\log...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(x={{\log }_{2}}a,y={{\log }_{2}}b,z={{\log }_{2}}c.\)

Ta có \(\log _{2}^{3}a+\log _{2}^{3}b+\log _{2}^{3}c\le 1\Rightarrow {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}\le 1;0\le x,y,z\le 1.\)

Biểu thức \(P={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3\left( ax+by+cz \right).\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=t-{{\log }_{2}}t\) với \(t\in \left[ 1;2 \right].{f}'\left( t \right)=1-\frac{1}{t\ln 2};{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{t}_{0}}=\frac{t}{\ln 2}.\)

Suy ra \(f\left( t \right)\le max\left\{ f\left( 1 \right),f\left( 2 \right),f\left( {{t}_{0}} \right) \right\}=1,x\in \left[ 1;2 \right].\)

Do đó, \(a-x-1\le 0\Rightarrow {{a}^{3}}-3ax-{{x}^{3}}-1=\left( a-x-1 \right)\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}}+1+a+ax-x \right)\le 0.\)

Suy ra \({{a}^{3}}-3ax\le {{x}^{3}}+1.\)

Biểu thức \(P={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3\left( ax+by+cz \right)\le {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}+3\le 4,{{P}_{max}}=4.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai trong ba số x, y, z bằng 0 và số còn lại bằng 1. Vậy a+b+c=1.