Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng

* Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của BC, do giả thiết tam giác ABC đều nên \(AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) và \(AH\bot BC\left( 1 \right).\)

Do \(A{A}'\bot \left( ABC \right)\) suy ra \(A{A}'\bot BC\left( 2 \right).\)

Từ (1), (2) ta suy ra \(BC\bot \left( A{A}'H \right).\)

Trong mặt phẳng (AA'H) kẻ \(AI\bot {A}'H\left( 3 \right).\)

Theo chứng minh trên \(BC\bot \left( A{A}'H \right)\) nên \(BC\bot AI\left( 4 \right).\)

Từ (3), (4) suy ra \(AI\bot \left( A{A}'H \right)\) do đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) là AI.

Xét tam giác AA'H ta có \(\frac{1}{A{{I}^{2}}}=\frac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}+\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{4}{3{{a}^{2}}}\)

Suy ra \(A{{I}^{2}}=\frac{3{{a}^{2}}}{7}\Leftrightarrow AI=\frac{a\sqrt{21}}{7}.\)

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BA'C) bằng \(\frac{a\sqrt{21}}{7}.\)