Trong không gian Oxyz, cho tam giác đều ABC với \(A\left( 6;3;5 \right)\) và đường thẳng BC có phương trình \(\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{2}.\) Gọi D là đường thẳng đi qu...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M\left( 1-t;2+t;2t \right)\) là hình chiếu của D lên BC.

Ta có \(\overrightarrow{AM}=\left( -5-t;t-1;2t-5 \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow{u}=\left( -1;1;2 \right)\) là véc-tơ chỉ phương của BC.

Do đó \(-1\left( -5-t \right)+1\left( t-1 \right)+2\left( 2t-5 \right)=0\Leftrightarrow t=1.\) Suy ra \(M\left( 0;3;2 \right).\)

Vì ABC là tam giác đều nên M là trung điểm của BC. Suy ra \(\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\Rightarrow G\left( 2;3;3 \right).\)

Đường thẳng D đi qua G, có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\frac{1}{3}\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{u} \right]=\left( 1;5;-2 \right).\)

Suy ra \(\Delta :\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=3+5t \\ & x=3-2t \\ \end{align} \right..\)

Với t=-1, ta có \(Q\left( 1;-2;5 \right)\in \Delta .\)