Cho tổng \( {S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{n}{{n + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\)....

* Hướng dẫn giải

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta sẽ chứng minh được

\({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{n}{{n + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\)

Thật vậy, với n=1 ta có \( {S_1} = \frac{1}{{1.2}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{{1 + 1}}\)

Giả sử (*) đúng đến n=k(k≥1), khi đó ta có:

\( {S_k} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{k}{{k + 1}}\) ta chứng minh (*) đúng đến n=k+1, tức là cần chứng minh

\( {S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{k + 1}}{{k + 2}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}}\\ { = \frac{k}{{k + 1}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{k\left( {k + 2} \right) + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{{k^2} + 2k + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)}}{{\left( {k + 2} \right)}}.} \end{array}\)

Vậy (∗) đúng với mọi số nguyên dương n.