Cho tam giác ABC cân tại A. Biết rằng độ dài cạnh BC, trung tuyến AM và cạnh AB

* Hướng dẫn giải

Tam giác ABC cân tại A có trung tuyến AM nên tam giác AMB vuông tại M, với M là trung điểm BC.

Đặt \(BC = a \Rightarrow AM = aq,\,\,\,AB = a{q^2}\)

Theo định lý Pitago ta có: \(A{B^2} = B{M^2} + A{M^2} = \frac{{B{C^2}}}{4} + A{M^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2}{q^4} = \frac{{{a^2}}}{4} + {a^2}{q^4} \Leftrightarrow {q^4} - {q^2} - \frac{1}{4} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {q^2} = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\\ {q^2} = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2} < 0\left( L \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow {q^2} = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} q = \frac{{\sqrt {2 + 2\sqrt 2 } }}{2}\\ q = \frac{{ - \sqrt {2 + 2\sqrt 2 } }}{2} \end{array} \right.\)