Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SAC), biết góc tạo bởi (SAC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60°.

* Hướng dẫn giải

Gọi H, H’ lần lượt là hình chiếu của G và B lên SP.

Ta có BP ^ AC, SP ^ AC Þ \(\left( {(SAC),(ABC)} \right) = \widehat {SPB} = 60^\circ \)

Ta lại có \(\frac{{GH}}{{BH'}} = \frac{{GP}}{{BP}} = \frac{1}{3} \Rightarrow GH = \frac{1}{3}BH'\)

Þ d[G,(SAC)] = \(\frac{1}{3}\)d[B,(SAC)]

Ta có BP = \(\frac{{4a\sqrt 3 }}{2}\)= 2a\(\sqrt 3 \) (đường cao tam giác đều)

SB = tan\(\widehat {SPB}\).BP = tan60. 2a\(\sqrt 3 \) = 6a

BH’ = \(\frac{{SB.BP}}{{\sqrt {S{B^2} + B{P^2}} }} = \frac{{6a.2a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{{(6a)}^2} + {{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = 3a\)

Vậy d[G,(SAC)] = \(\frac{1}{3}\).3a = a.