Dây truyền đỡ trên cầu treo có dạng parabol ACB như hình vẽ. Đầu, cuối của dây được gắn vào các điểm A, B trên mỗi trục AA’ và BB’ với độ cao 30 m. Chiều dài A’B’ trên nền cầu bằng...

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Giả sử parabol có dạng y = ax² + bx + c, với a ≠ 0.

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Khi đó O ≡ C’ là trung điểm A’B’.

Suy ra OA = OB = 100 (m).

Do đó parabol đi qua điểm A(100; 30).

Suy ra 30 = a.100² + b.100 + c.

Khi đó 10 000a + 100b + c = 30    (1)

Khi chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, ta có Oy là trục đối xứng của parabol.

Vì C là giao điểm của trục đối xứng Oy và parabol.

Nên C là đỉnh của parabol.

Parabol có đỉnh C(0; 5).

Ta suy ra 5 = a.0² + b.0 + c.

Do đó c = 5

Ta có x_C = 0.

Suy ra \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 0\).

Do đó b = 0.

Thay b = 0, c = 5 vào (1) ta được 10 000a + 100.0 + 5 = 30.

Suy ra a = \(\frac{1}{{400}} \ne 0\).

Vậy parabol có hàm số \(y = \frac{1}{{400}}{x^2} + 5\).

Đoạn A’B’ được chia thành 8 phần bằng nhau.

Suy ra OI’ = I’J’ = J’K’ = \(\frac{{200}}{8}\) = 25 (m).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OI' = 25\\OJ' = 25.2 = 50\\OK' = 25.3 = 75\end{array} \right.\)

Do đó x_I’ = 25, x_J’ = 50, x_K’ = 75.

Với x_I’ = 25, ta có \({y_1} = {y_{I'}} = \frac{1}{{400}}{.25^2} + 5 = \frac{{105}}{{16}}\).

Với x_J’ = 50, ta có \({y_2} = {y_{J'}} = \frac{1}{{400}}{.50^2} + 5 = \frac{{45}}{4}\).

Với x_K’ = 75, ta có \({y_3} = {y_{K'}} = \frac{1}{{400}}{.75^2} + 5 = \frac{{305}}{{16}}\).

Vậy tổng độ dài của các dây cáp treo bằng:

OC + 2y₁ + 2y₂ + 2y₃

\( = 5 + 2.\frac{{105}}{{16}} + 2.\frac{{45}}{4} + 2.\frac{{305}}{{16}} = \frac{{315}}{4} = 78,75\) (m)

Vậy ta chọn phương án C.