Cho B= 2/1.3+ 2/ 3.5+ 2/ 5.7+...+ 2/99.101. Khẳng định nào sau đây là đúng?

* Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $B=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+\mathrm{...}+\frac{2}{99.101}$

$=\frac{3-1}{1.3}+\frac{5-3}{3.5}+\frac{7-5}{5.7}+\mathrm{...}+\frac{101-99}{99.101}$

$=\left(\frac{3}{1.3}-\frac{1}{1.3}\right)+\left(\frac{5}{3.5}-\frac{3}{3.5}\right)+\left(\frac{7}{5.7}-\frac{5}{5.7}\right)+\mathrm{...}+\left(\frac{101}{99.101}-\frac{99}{99.101}\right)$

$=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\mathrm{...}+\left(\frac{1}{99}-\frac{1}{101}\right)$

$=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\mathrm{...}+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}$

$=1+\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\right)+\left(-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\right)+\mathrm{...}+\left(-\frac{1}{99}+\frac{1}{99}\right)-\frac{1}{101}$

$=1+0+0+0+\mathrm{...}+0-\frac{1}{101}$

$=1-\frac{1}{101}=\frac{101}{101}-\frac{1}{101}=\frac{101-1}{101}=\frac{100}{101}$

Vậy $B=\frac{100}{101}\notin \mathbb{Z}$. Do đó B và D sai.

Ta có 100 < 101 nên $\frac{100}{101}<\frac{101}{101}=1$ 

Hay B < 1. Do đó A là đúng.

Vậy ta chọn đáp án A.