Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và thỏa mãn tích phân từ 1 đến 4 của f(căn bậc hai của x)/ (căn bậc hai của x + 1)dx

Đáp án đúng là: B

Đặt t = $\sqrt{x}$ (t ≥ 0)

Þ t² = x

Þ 2tdt = dx

Đổi cận:

 Þ $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)}d\text{x}$= $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{2t.f\left(t\right)}{t+1}dt$ = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{2x.f\left(x\right)}{x+1}dx$ 

Mà $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)}d\text{x}$= 4

Þ $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{2x.f\left(x\right)}{x+1}dx$ = 4

Þ $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x.f\left(x\right)}{x+1}dx$ = 2

Đặt u = ln (x + 1) Þ du = $\frac{1}{x+1}$

dv = f (x)dx Þ v = f (x) + C

Chọn C = 0 Þ v = f (x)

Þ $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\ln \left(x+1\right)f\text{'}\left(x\right)d\text{x}$= ${\left.\left[f\left(x\right).\ln \left(x+1\right)\right]\right|}_1^2$ – $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x+1}d\text{x}$ 

= f (2). ln3 – f (1).ln2 – $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x+1}d\text{x}$

= 3.ln3 – 0.ln2 – $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x+1}d\text{x}$

= 3.ln3 – $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x+1}d\text{x}$

Mà $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\ln \left(x+1\right)f\text{'}\left(x\right)d\text{x}$= 1 + 3ln3

Þ$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x+1}d\text{x}$= –1

Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x.f\left(x\right)}{x+1}dx$+=$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x+1}d\text{x}$ = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\left(x+1\right).f\left(x\right)}{x+1}dx$ = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}$

Þ E =$\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}$ = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x.f\left(x\right)}{x+1}dx$+$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x+1}d\text{x}$ = 2 – 1 = 1.

Vậy ta chọn phương án B.