Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 3] thỏa tích phân từ 0 đến 3 f(x)dx= 10 và f(3) = 3.

Đặt $\sqrt{\mathrm{x}}$ = t (t > 0) => x = t² => dx = 2tdt

Đổi cận:

$\underset{0}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f}\text{'}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\text{x}$ = 2.$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{t}\right).\mathrm{t}\text{d}\mathrm{t}$ = 2.$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{x}\text{dx}$

Đặt u = x => du = dx

dv =  f '(x) dx => v = f (x) + C

Chọn C = 0 => v = f (x)

$\Rightarrow \underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{x}\text{dx}={\left.\mathrm{x}.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right|}_0^3-\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\text{x}$

= 3. f (3) – 0. f (0) – 10

= 3.3 – 10 = – 1