Cho khối chóp \(S.ABC\) có cạnh ba cạnh \(AS,\,\,AB,\,\,AC\) đôi một vuông góc với nhau và \(AS = a,\,\,AB = 2a,\,\,AC = 3a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \...

* Hướng dẫn giải

Theo giả thiết, \(AS,\,AB,\,AC\) đôi một vuông góc nên ta có:

\(AB \bot AC \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.2a.3a = 3{a^2}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)\)

Do đó,  thể tích của khối chóp \(S.ABC\) là:

\({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.3{a^2} = {a^3}\)

\(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,\,\,\,SC\) nên:

\(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = 1.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)

Suy ra thể tích của khối chóp  \(S.AMN\) là:  \({V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}}}{4}\)

Đáp án  A